Rabu, 17 Oktober 2012

LOGIKA MATEMATIKA


PENGERTIAN LOGIKA DAN PERNYATAAN

       Kebenaran suatu teori yang dikemukakan setiap ilmuwan, matematikawan,
maupun para ahli merupakan hal yang sangat menentukan reputasi mereka. Untuk
mendapatkan hal tersebut, mereka akan berusaha untuk mengaitkan suatu fakta atau data
dengan fakta atau data lainnya melalui suatu proses penalaran yang sahih atau valid.
Sebagai akibatnya, logika merupakan ilmu yang sangat penting dipelajari. Di dalam mata
pelajaran matematika maupun IPA, aplikasi logika seringkali ditemukan meskipun tidak
secara formal disebut sebagai belajar logika. Bagian ini akan membahas tentang logika
yang didahului dengan pengertian penalaran, diikuti dengan pernyataan, perakit-perakit
pembentuk: negasi, konjungsi, disjungsi, implikasi dan biimplikasi.
A. PENGERTIAN LOGIKA
       Ada pernyataan menarik yang dikemukakan mantan Presiden AS Thomas
Jefferson sebagaimana dikutip Copi (1978) berikut ini: "In a republican nation, whose
citizens are to be led by reason and persuasion and not by force, the art of reasoning
becomes of first importance" (p. vii). Pernyataan itu menunjukkan pentingnya logika,
penalaran dan argumentasi dipelajari dan dikembangkan di suatu negara sehingga setiap
warga negara akan dapat dipimpin dengan daya nalar (otak) dan bukannya dengan
kekuatan (otot) saja. Karenanya, seperti yang dinyatakan mantan Presiden AS tadi, seni
bernalar merupakan hal yang sangat penting. Di samping itu, Copi (1978) juga mengutip
pendapat Juliana Geran Pilon yang senada dengan yang diucapkan mantan Presiden AS
tadi: "Civilized life depends upon the success of reason in social intercourse, the
prevalence of logic over violence in interpersonal conflict" (p. vii).

       Dua pernyataan di atas telah menunjukkan pentingnya penalaran (reasoning)
dalam percaturan politik dan pemerintahan di suatu negara. Tidak hanya di bidang
ketatanegaraan maupun hukum saja kemampuan bernalar itu menjadi penting. Di saat
mempelajari matematika maupun ilmu-ilmu lainnya penalaran itu menjadi sangat penting
dan menentukan. Secara etimologis, logika berasal dari kata Yunani 'logos' yang berarti
kata, ucapan, pikiran secara utuh, atau bisa juga berarti ilmu pengetahuan (Kusumah,
1986). Dalam arti luas, logika adalah suatu cabang ilmu yang mengkaji penurunan penurunan kesimpulan yang sahih (valid, correct) dan yang tidak sahih (tidak valid,
incorrect). Proses berpikir yang terjadi di saat menurunkan atau menarik kesimpulan dari
pernyataan-pernyataan yang diketahui benar atau dianggap benar itu sering juga disebut
dengan penalaran (reasoning).
B. PERNYATAAN
Dimulai sejak ia masih kecil, setiap manusia, sedikit demi sedikit melengkapi
perbendaharaan kata-katanya. Di saat berkomunikasi, seseorang harus menyusun katakata
yang dimilikinya menjadi suatu kalimat yang memiliki arti atau bermakna. Kalimat
adalah susunan kata-kata yang memiliki arti yang dapat berupa pernyataan ("Pintu itu
tertutup."), pertanyaan ("Apakah pintu itu tertutup?"), perintah ("Tutup pintu itu!")
ataupun permintaan ("Tolong pintunya ditutup."). Dari empat macam kalimat tersebut,
hanya pernyataan saja yang memiliki nilai benar atau salah, tetapi tidak sekaligus benar
atau salah. Meskipun para ilmuwan, matematikawan ataupun ahli-ahli lainnya sering
menggunakan beberapa macam kalimat tersebut dalam kehidupan sehari-harinya, namun
hanya pernyataan saja yang menjadi perhatian mereka dalam mengembangkan ilmunya.
Setiap ilmuwan, matematikawan, ataupun ahli-ahli lainnya akan berusaha untuk
menghasilkan suatu pernyataan atau teori yang benar. Suatu pernyataan (termasuk teori)
tidak akan ada artinya jika tidak bernilai benar. Karenanya, pembicaraan mengenai benar
tidaknya suatu kalimat yang memuat suatu teori telah menjadi pembicaraan dan
perdebatan para ahli filsafat dan logika sejak dahulu kala. Beberapa nama yang patut
diperhitungkan karena telah berjasa untuk kita adalah Plato (427 347 SM), Aristoteles
(384 322 SM), Charles S Peirce (1839 1914) dan Bertrand Russell (1872 1970).
Paparan berikut akan membicarakan tentang kebenaran, dalam arti, bilamana suatu
pernyataan yang dimuat di dalam suatu kalimat disebut benar dan bilamana disebut salah.
Untuk menjelaskan tentang kriteria kebenaran ini perhatikan dua kalimat berikut:
a. Semua manusia akan mati.
b. Jumlah besar sudut-sudut suatu segitiga adalah 180°.
Pertanyaannya, dari dua kalimat tersebut, kalimat manakah yang bernilai benar
dan manakah yang bernilai salah. Pertanyaan selanjutnya, mengapa kalimat tersebut
dikategorikan bernilai benar atau salah, dan bilamana suatu kalimat dikategorikan sebagai
kalimat yang bernilai benar atau salah.
Pernyataan dan Bukan Pernyataan
Dalam kehidupan sehari-hari, jika ingin mengutarakan sesuatu, maka selalu menggunakan kalimat (rangkaian kata-kata). Jenis-jenis kalimat yaitu:
1). Kalimat berarti
Kalimat berarti adalah kalimat yang mempunyai arti
Contoh 1
a. Fatimah siswi kelas X
b. Jakarta terletak di Pulau Jawa
c. 6 x 8 = 50
2). Kalimat tak berarti
Kalimat tak berarti adalah kalimat yang tidak mempunyai arti
Contoh 2
a. Bank mencintai delapan
b. Tiga makan lemari
3). Kalimat Deklaratif( pernyataan)
Kalimat deklaratif adalah kalimat yang mempunyai nilai benar saja atau salah saja, tetapi tidak sekaligus dua-duanya. Dengan demikian kita dapat mengatakan bahwa pernyataan adalah kalimat yang mempunyai nilai benar saja atau salah saja tetapi tidak benar dan salah sekaligus, atau dengan kata lain sebuah pernyataan adalah kalimat yang dapat ditentukan nilai kebenarannya (bernilai benar atau salah berdasarkan empirik atau non empirik). Untuk mempermudah penggunaan selanjutnya, pernyataan dilambangkan dengan sebuah huruf kecil, misalnya p, q, r dan sebagainya. Pernyataan yang benar memiliki nilai kebenaran B (benar) atau 1 dan pernyataan salah memiliki kebenaran S (salah) atau 0.
Contoh 3
a. p : Bilangan cacah adalah bilangan asli ditambah nol
b. q : Lagu Indonesia Raya diciptakan oleh Kusbini
c. r : Jika 2x = 6 maka x = 3
Pada contoh 3, p dan r adalah dua pernyataan yang bernilai benar sedangkan q adalah
pernyataan yang bernilai salah.
4). Kalimat Deklaratif Faktual (pernyataan fakta)
Kalimat deklaratif faktual adalah pernyataan yang nilai kebenarannya harus diselidiki
terlebih dahulu.
Contoh 4
a. Hanif adalah salah satu siswa SMK Taruna
b. Fulan adalah seorang koruptor
c. Telah terjadi kebakaran di Perumahan Bumi Maya
5). Kalimat non deklaratif (bukan pernyataan )
Kalimat non deklaratif adalah kalimat yang tidak dapat ditentukan nilai kebenarannya.
Contoh 5
a. Semoga Tuhan mengampuni dosamu.
b. Berapakah jumlah siswa SMK se DKI Jakarta ?
c. Beristirahatlah jika anda lelah
6). Kalimat terbuka
Kalimat terbuka adalah kalimat yang mengandung peubah (variabel) dan apabila peubah diganti dengan suatu konstanta dalam semestanya, akan menghasilkan suatu pernyataan.
Contoh 6
a. x + 2 = 5
b. x2 – 5x – 40 > 0
c. Ini adalah sebuah logam
Sebuah variabel pada kalimat terbuka, jika diganti maka kalimat tersebut dapat ditentukan nilai kebenarannya. Tinjaulah x + 2 = 5, jika x kita ganti dengan 3 maka kalimat tersebut menjadi 3 + 2 = 5 adalah kalimat yang bernilai benar dan x = 3 dinamakan penyelesaian dari kalimat terbuka tersebut. Tetapi jika harga x kita ganti dengan 1 maka kalimat tersebut menjadi 1 + 2 = 5, ini merupakan pernyataan yang bernilai salah.
Dari tinjauan di atas dapat kita katakan bahwa kalimat terbuka dapat berubah menjadi sebuah pernyataan yang bernilai benar atau salah jika variabel atau peubah dari kalimat terbuka tersebut diganti dengan nilai tertentu.
Latihan 2.1
1. Manakah di antara kalimat berikut yang merupakan pernyataan?
a. x + 3 = 2.
b. x + 3 = 2 adalah suatu pernyataan.
c. 111 adalah bilangan prima.
d. Tadi pagi Fahmi bertanya: "Pak Guru kapan ulangan?"
e. 2n + 1 untuk n A adalah bilangan ganjil.
2.Tentukan variabel atau peubah dari kalimat terbuka berikut agar menjadi sebuah
pernyataan yang bernilai benar!
a. x adalah bilangan asli kurang dari 5.
b. x + 2 = -20.
c. Sebuah himpunan A = { x| -2 < x < 4, x € A}.
d. x2 – 2x – 8 = 0 .
e. Bilangan cacah kurang dari 21 yang habis dibagi 2.








DISJUNGSI, KONJUNGSI, IMPLIKASI, BIIMPLIKASI DAN
NEGASINYA

Adakalanya, kita dituntut untuk menegasikan atau membuat pernyataan baru yang
menunjukkan pengingkaran atas pernyataan yang ada, dengan menggunakan perakit
“bukan” atau “tidak”. Di samping itu, mereka harus menggabungkan dua pernyataan atau
lebih dengan menggunakan perakit “atau”, “dan”, “Jika … maka ….”, maupun “… jika
dan hanya jika ….” yang dikenal di matematika sebagai konjungsi, disjungsi, implikasi
dan biimplikasi. Bagian ini akan membahas perakit-perakit tersebut
C. PERAKIT/PERANGKAI

Perakit atau perangkai ini sering juga disebut dengan operasi. Dari satu atau
dua pernyataan tunggal dapat diberikan perakit “tidak” , “dan”, “atau”, “jika … maka
…”, dan “ … jika dan hanya jika … “ sehingga terbentuk suatu negasi, konjungsi,
disjungsi, implikasi, dan biimplikasi. Sub bagian ini akan membahas tentang perakit atau
penggandeng tersebut.
1). Ingkaran atau Negasi
Ingkaran atau negasi biasanya digunakan untuk menyangkal atau kebalikan dari suatu pernyataan. Untuk menyangkal atau membuat negasi dari suatu pernyataan biasanya dengan cara membubuhkan kata “tidak benar” di depan kalimat atau dengan menyisipkan kata “tidak atau bukan” di dalam pernyataan tersebut. Pernyataan baru yang didapat dengan cara seperti itu disebut negasi atau ingkaran dari suatu pernyataan semula. Jika p adalah suatu pernyataan, maka ingkaran atau negasi dari pernyataan tersebut dituliskan dengan menggunakan lambang berikut ini ~ p dan dibaca “tidak benar p”atau “bukan p”.
Contoh 7
Tentukan ingkaran atau negasi dari pernyataan-pernyataan berikut!
a.   p : Jakarta ibukota Indonesia
~p : Tidak benar Jakarta ibukota Indonesia
~p : Jakarta bukan ibukota Indonesia
b. q : 6 < 3
~q : Tidak benar 6 < 3
~q : 6 _ 3
2). Pernyataan Majemuk
Pernyataan majemuk atau kalimat majemuk adalah suatu pernyataan baru yang tersusun atas dua atau lebih pernyataan dengan menggunakan kata hubung logika, yaitu dan, atau, tetapi dan sebagainya. Pernyataan tunggal pembentuk pernyataan majemuk tersebut disebut dengan komponen-komponen atau sub pernyataan.
Contoh 9
a. Bandung ibukota provinsi Jawa Barat dan terletak di Pulau Jawa. Komponen pembentuk kalimat majemuk tersebut adalah Bandung Ibukota Jawa Barat dan Bandung terletak di Jawa Barat.
b. 2 + 3 = 5 atau 2 – 1 > 5. Komponen pembentuk kalimat majemuknya adalah 2 + 3 = 5 dan 2 – 1>5.
3). Konjungsi
Dua pernyataan p dan q dapat digabungkan dengan meggunakan kata hubung “dan” untuk membentuk suatu pernyataan majemuk yang disebut konjungsi dari pernyataan p dan q. Konjungsi dari pernyataan p dan q dinyatakan dengan: p ٨ q dibaca “ p dan q”.
Contoh 10
a. p        : Jakarta adalah Ibukota Indonesia.
Q     : Jakarta terletak di pulau Jawa.
P ٨ q: Jakarta adalah Ibukota Indonesia dan terletak di pulau Jawa.
b. p       : 2 adalah bilangan prima.
q       : 2 adalah bilangan ganjil.
p ٨ q: 2 adalah bilangan prima dan bilangan ganjil.
4). Disjungsi
Dua pernyataan p dan q dapat digabung dengan menggunakan kata hubung “atau” untuk membentuk sebuah pernyataan baru. Pernyataan majemuk ini disebut dengan disjungsi. Disjungsi dari pernyataan p dan q ditulis “p v q” dan dibaca “p disjungsi q atau “p atau q”. Dalam kehidupan sehari-hari kata “atau” berarti salah satu atau kedua-duanya, dapat pula salah satu tetapi tidak kedua-duanya.
Contoh 13
p          : 5 merupakan bilangan ganjil
q          : Kalimantan adalah pulau terbesar di Indonesia
p v q    : 5 merupakan bilangan ganjil atau Kalimantan adalah pulau terbesar di
            Indonesia.
5). Implikasi
Dua pernyataan p dan q dapat dibuat menjadi satu pernyataan baru atau kalimat majemuk menjadi bentuk “jika p maka q”. Pernyatan baru yang disusun dengan cara seperti ini disebut pernyataan implikasi atau peryataan bersyarat/kondisional dari pernyataan p dan q. Bagian “jika p” dinamakan alasan atau sebab (antesenden /hipotesis) dan bagian “maka q” dinamakan kesimpulan atau akibat (konklusi atau konsekuen). Implikasi “jika p maka q” dalam bentuk simbol ditulis:
p _ q (dibaca “jika p maka q”)


Implikasi p _ q dapat pula dibaca sebagai berikut:
v q hanya jika p
v p syarat cukup bagi q
v q syarat perlu bagi p
6). Biimplikasi atau ekuivalensi
Dua pernyataan p dan q dapat dibuat menjadi satu pernyataan baru atau kalimat majemuk menjadi bentuk “p jika dan hanya jika q”. Pernyataan baru yang disusun dengan cara seperti ini disebut pernyataan biimplikasi atau ekuivalensi dari pernyatan p dan q. Biimplikasi dari pernyataan p dan q dalam bentuk simbol ditulis:
p  q (dibaca “p jika dan hanya jika q”)
Biimplikasi p  q dapat pula dibaca sebagai berikut:
v Jika p maka q dan jika q maka p
v p syarat perlu dan cukup bagi q
v q syarat perlu dan cukup bagi p
Latihan 3.1
1. Tentukan nilai kebenaran dari pernyataan berikut!
a. 3 + 2 = 6 4 + 2 = 5.
b. 3 + 2 = 5 4 + 2 = 5.
c. 3 + 2 = 5 atau Jakarta ibukota DI Aceh.
d. Jika x2 = 4 maka x = 2.
e. Jika x = 2 maka x2 = 4.
f. Jika 3x + 4 = 2 dan x B, maka x = 1.
Buatlah ingkaran dari kalimat berikut ini!
a. Semarang adalah ibukota Jawa Tengah.
b. Panjang diameter sebuah lingkaran adalah dua kali jari-jarinya.
c. 2 + 3 < 1.
d. 2 + 1 = 5.
e. 4 bukan merupakan bilangan prima.

D. INGKARAN ATAU NEGASI SUATU PERNYATAAN
1. Negasi Suatu Konjungsi

Konjungsi adalah suatu pernyataan majemuk yang menggunakan perakit "dan".
Contohnya, pernyataan Adi berikut :
"Fahmi makan nasi dan minum kopi."
Pernyataan tersebut ekivalen dengan dua pernyataan tunggal berikut: "Fahmi makan
nasi." dan sekaligus "Fahmi minum kopi." Suatu konjungsi p q akan bernilai benar
hanya jika komponen-komponennya, yaitu baik p maupun q, keduanya bernilai benar.
Sedangkan negasi atau ingkaran suatu pernyataan adalah pernyataan lain yang bernilai
benar jika pernyataan awalnya bernilai salah dan bernilai salah jika pernyataan awalnya
bernilai benar. Karena itu, negasi dari: "Fahmi makan nasi dan minum kopi." adalah
suatu pernyataan majemuk lain yang salah satu komponennya merupakan negasi dari
komponen pernyataan awalnya. Dengan demikian, negasinya adalah “"Fahmi tidak
makan nasi atau tidak minum kopi.";
2. Negasi Suatu Disjungsi

Disjungsi adalah pernyataan majemuk yang menggunakan perakit "atau".
Contohnya, pernyataan Adi berikut: "Fahmi makan nasi atau minum kopi." Suatu disjungsi   p q akan bernilai salah hanya jika komponen-komponennya, yaitu baik p
maupun q, keduanya bernilai salah, yang selain itu akan bernilai benar. Karenanya,
negasinya adalah "Fahmi tidak makan nasi dan tidak minum kopi,"
3. Negasi Suatu Implikasi

Perhatikan pernyataan berikut yang merupakan suatu implikasi:
“Jika hari hujan maka Adi membawa payung.”
Negasi dari implikasi di atas adalah: “Hari hujan akan tetapi Andi tidak membawa
payung.” sehingga ~(p q) p~q
4. Negasi Suatu Biimplikasi

Biimplikasi atau bikondisional adalah pernyataan majemuk dari dua pernyataan p
dan q yang dinotasikan dengan p q yang ekuivalen (p q) (q p); sehingga:
~ (p q) ~[(p q) (q p)]
~[(~p q) (~q p)]
~(~p q) ~(~q p)]
(p ~q) (q ~p)
1.      . Konvers , Invers dan Kontraposisi
Dari suatu pernyataan implikasi p _ q dapat dibuat pernyataan baru yaitu:
a. q _ p , disebut konvers dari implikasi
b. ~ p _ ~ q , disebut invers dari implikasi
c. ~ q _ ~ p , disebut kontraposisi dari implikasi
Contoh
Misalkan p : Segitiga ABC sama sisi dan q: Ketiga sudutnya sama besar. Implikasi dari
pernyataan p dan q adalah
p _ q “Jika segitiga ABC sama sisi maka ketiga sudutnya sama besar”.
a. Konversnya q _ p :
“Jika ketiga sudutnya sama besar maka segitiga ABC sama sisi”.
b. Inversnya ~ p _ ~ q :
“Jika segitiga ABC bukan sama sisi maka ketiga sudutnya tidak sama besar”.
c. Kontraposisi ~ q _ ~ p :
“Jika ketiga sudutnya tidak sama besar maka segitiga ABC bukan sama sisi”.
2.      Modus Ponen
Modus ponen adalah argumen yang berbentuk sebagai berikut:
“Jika p _ q benar dan p benar maka q benar”.
Dalam bentuk diagram dapat disajikan sebagai berikut:
Premis 1 : p q
Premis 2 : P
Konklusi :  q
Contoh:
a. Jika seorang anak rajin belajar, maka ia lulus ujian                (B).
Ahmad adalah anak yang rajin belajar                                  (B).
 Ahmad lulus ujian                                                             (B).
b. Jika n bilangan ganjil maka, n2 bilangan ganjil                     (B).
3 bilangan ganjil                                                                    (B).
 32 bilangan ganjil                                                               (B).
Untuk menguji sah atau tidak penarikan kesimpulan secara modus ponen dapat digunakan tabel kebenaran. Argumen modus ponen “Jika p _ q benar dan p benar maka q benar” dapat dituliskan dalam bentuk implikasi, yaitu
[(p  q) ٨ p] q.
3.      . Modus Tollens
Modus tollens adalah argumen yang berbentuk sebagai berikut:
“Jika p q benar dan ~ q benar maka ~ p benar”.
Dalam bentuk diagram dapat disajikan sebagai berikut:
Premis 1 : p   q
Premis 2 :     ~ q
Konklusi :  ~ p
Contoh:
a. Jika hari minggu, maka Budi bertamasya                  (B)
Budi tidak bertamasya                                              (B)
 Bukan hari minggu                                                            (B)
b. Jika ABCD belahketupat, maka AC tegak lurus BD(B)
AC tidak tegak lurus BD                                          (B)
 ABCD bukan belahketupat                                               (B)
4.      . Silogisme
Silogisme adalah argumen yang berbentuk sebagai berikut:
“Jika p  q benar dan q r benar maka p  r benar”.
Dalam bentuk diagram dapat disajikan sebgai berikut:
Premis 1 : p  q
Premis 2 : q  r
Konklusi :  p  r

3 komentar:

Unknown mengatakan...

Jika ada soal
1. X adalah bilangan asli kurang dari 5.
Jawabannya adalah ?

Mohon dijawab

Unknown mengatakan...

Good job!

Anonim mengatakan...

Casino site by LuckyClub - live casino site by Luckyclub
Online Casino with No download required. Online Casino with Cash, FREE luckyclub No Deposit Needed and a Fast, Secure, and Secure Website.

Posting Komentar