PENGERTIAN LOGIKA DAN PERNYATAAN
Kebenaran suatu teori
yang dikemukakan setiap ilmuwan, matematikawan,
maupun para ahli merupakan hal yang
sangat menentukan reputasi mereka. Untuk
mendapatkan hal tersebut, mereka akan
berusaha untuk mengaitkan suatu fakta atau data
dengan fakta atau data lainnya melalui
suatu proses penalaran yang sahih atau valid.
Sebagai akibatnya, logika merupakan ilmu
yang sangat penting dipelajari. Di dalam mata
pelajaran matematika maupun IPA,
aplikasi logika seringkali ditemukan meskipun tidak
secara formal disebut sebagai belajar
logika. Bagian ini akan membahas tentang logika
yang didahului dengan pengertian
penalaran, diikuti dengan pernyataan, perakit-perakit
pembentuk: negasi, konjungsi, disjungsi,
implikasi dan biimplikasi.
A. PENGERTIAN LOGIKA
Ada pernyataan menarik
yang dikemukakan mantan Presiden AS Thomas
Jefferson sebagaimana dikutip Copi
(1978) berikut ini: "In a republican nation, whose
citizens are to be led by reason and
persuasion and not by force, the art of reasoning
becomes of first importance" (p.
vii). Pernyataan itu menunjukkan pentingnya logika,
penalaran dan argumentasi dipelajari dan
dikembangkan di suatu negara sehingga setiap
warga negara akan dapat dipimpin dengan
daya nalar (otak) dan bukannya dengan
kekuatan (otot) saja. Karenanya, seperti
yang dinyatakan mantan Presiden AS tadi, seni
bernalar merupakan hal yang sangat
penting. Di samping itu, Copi (1978) juga mengutip
pendapat Juliana Geran Pilon yang senada
dengan yang diucapkan mantan Presiden AS
tadi: "Civilized life depends
upon the success of reason in social intercourse, the
prevalence of logic over violence in
interpersonal conflict" (p. vii).
Dua pernyataan di atas
telah menunjukkan pentingnya penalaran (reasoning)
dalam percaturan politik dan
pemerintahan di suatu negara. Tidak hanya di bidang
ketatanegaraan maupun hukum saja
kemampuan bernalar itu menjadi penting. Di saat
mempelajari matematika maupun ilmu-ilmu
lainnya penalaran itu menjadi sangat penting
dan menentukan. Secara etimologis,
logika berasal dari kata Yunani 'logos' yang berarti
kata, ucapan, pikiran secara utuh, atau
bisa juga berarti ilmu pengetahuan (Kusumah,
1986). Dalam arti luas, logika adalah
suatu cabang ilmu yang mengkaji penurunan
penurunan kesimpulan yang sahih (valid, correct)
dan yang tidak sahih (tidak valid,
incorrect).
Proses berpikir yang terjadi di saat menurunkan atau menarik kesimpulan dari
pernyataan-pernyataan yang diketahui
benar atau dianggap benar itu sering juga disebut
dengan penalaran (reasoning).
B. PERNYATAAN
Dimulai
sejak ia masih kecil, setiap manusia, sedikit demi sedikit melengkapi
perbendaharaan
kata-katanya. Di saat berkomunikasi, seseorang harus menyusun katakata
yang dimilikinya
menjadi suatu kalimat yang memiliki arti atau bermakna. Kalimat
adalah susunan
kata-kata yang memiliki arti yang dapat berupa pernyataan ("Pintu
itu
tertutup."), pertanyaan
("Apakah pintu itu tertutup?"), perintah ("Tutup
pintu itu!")
ataupun permintaan ("Tolong
pintunya ditutup."). Dari empat macam kalimat tersebut,
hanya pernyataan saja
yang memiliki nilai benar atau salah, tetapi tidak sekaligus benar
atau salah. Meskipun
para ilmuwan, matematikawan ataupun ahli-ahli lainnya sering
menggunakan beberapa
macam kalimat tersebut dalam kehidupan sehari-harinya, namun
hanya pernyataan saja
yang menjadi perhatian mereka dalam mengembangkan ilmunya.
Setiap
ilmuwan, matematikawan, ataupun ahli-ahli lainnya akan berusaha untuk
menghasilkan suatu
pernyataan atau teori yang benar. Suatu pernyataan (termasuk teori)
tidak akan ada artinya
jika tidak bernilai benar. Karenanya, pembicaraan mengenai benar
tidaknya suatu kalimat
yang memuat suatu teori telah menjadi pembicaraan dan
perdebatan para ahli
filsafat dan logika sejak dahulu kala. Beberapa nama yang patut
diperhitungkan karena
telah berjasa untuk kita adalah Plato (427 − 347 SM), Aristoteles
(384 − 322 SM), Charles S
Peirce (1839 − 1914)
dan Bertrand Russell (1872 − 1970).
Paparan berikut akan
membicarakan tentang kebenaran, dalam arti, bilamana suatu
pernyataan yang dimuat
di dalam suatu kalimat disebut benar dan bilamana disebut salah.
Untuk
menjelaskan tentang kriteria kebenaran ini perhatikan dua kalimat berikut:
a. Semua manusia akan
mati.
b. Jumlah besar
sudut-sudut suatu segitiga adalah 180°.
Pertanyaannya,
dari dua kalimat tersebut, kalimat manakah yang bernilai benar
dan manakah yang
bernilai salah. Pertanyaan selanjutnya, mengapa kalimat tersebut
dikategorikan bernilai
benar atau salah, dan bilamana suatu kalimat dikategorikan sebagai
kalimat yang bernilai
benar atau salah.
Pernyataan
dan Bukan Pernyataan
Dalam
kehidupan sehari-hari, jika ingin mengutarakan sesuatu, maka selalu menggunakan
kalimat (rangkaian kata-kata). Jenis-jenis kalimat yaitu:
1). Kalimat berarti
Kalimat berarti adalah
kalimat yang mempunyai arti
Contoh 1
a. Fatimah siswi kelas X
b. Jakarta terletak di Pulau
Jawa
c. 6 x 8 = 50
2). Kalimat tak berarti
Kalimat tak berarti adalah
kalimat yang tidak mempunyai arti
Contoh 2
a. Bank mencintai delapan
b. Tiga makan lemari
3). Kalimat Deklaratif( pernyataan)
Kalimat deklaratif adalah
kalimat yang mempunyai nilai benar saja atau salah saja, tetapi tidak sekaligus
dua-duanya. Dengan demikian kita dapat mengatakan bahwa pernyataan adalah
kalimat yang mempunyai nilai benar saja atau salah saja tetapi tidak benar dan
salah sekaligus, atau dengan kata lain sebuah pernyataan adalah kalimat yang
dapat ditentukan nilai kebenarannya (bernilai benar atau salah berdasarkan
empirik atau non empirik). Untuk mempermudah penggunaan selanjutnya, pernyataan
dilambangkan dengan sebuah huruf kecil, misalnya p, q, r dan sebagainya.
Pernyataan yang benar memiliki nilai kebenaran B (benar) atau 1 dan pernyataan
salah memiliki kebenaran S (salah) atau 0.
Contoh 3
a. p : Bilangan cacah adalah
bilangan asli ditambah nol
b. q : Lagu Indonesia Raya
diciptakan oleh Kusbini
c. r : Jika 2x = 6 maka x = 3
Pada contoh 3, p dan r adalah
dua pernyataan yang bernilai benar sedangkan q adalah
pernyataan yang bernilai
salah.
4). Kalimat Deklaratif
Faktual (pernyataan fakta)
Kalimat deklaratif faktual
adalah pernyataan yang nilai kebenarannya harus diselidiki
terlebih dahulu.
Contoh 4
a. Hanif adalah salah satu
siswa SMK Taruna
b. Fulan adalah seorang
koruptor
c. Telah terjadi kebakaran di
Perumahan Bumi Maya
5). Kalimat non deklaratif
(bukan pernyataan )
Kalimat non deklaratif adalah
kalimat yang tidak dapat ditentukan nilai kebenarannya.
Contoh 5
a. Semoga Tuhan mengampuni
dosamu.
b. Berapakah jumlah siswa SMK
se DKI Jakarta ?
c. Beristirahatlah jika anda
lelah
6). Kalimat terbuka
Kalimat terbuka adalah
kalimat yang mengandung peubah (variabel) dan apabila peubah diganti
dengan suatu konstanta dalam semestanya, akan menghasilkan suatu pernyataan.
Contoh 6
a. x + 2 = 5
b. x2 – 5x – 40 > 0
c. Ini adalah sebuah logam
Sebuah variabel pada kalimat terbuka,
jika diganti maka kalimat tersebut dapat ditentukan nilai kebenarannya.
Tinjaulah x + 2 = 5, jika x kita ganti dengan 3 maka kalimat tersebut menjadi 3
+ 2 = 5 adalah kalimat yang bernilai benar dan x = 3 dinamakan penyelesaian
dari kalimat terbuka tersebut. Tetapi jika harga x kita ganti dengan 1 maka
kalimat tersebut menjadi 1 + 2 = 5, ini merupakan pernyataan yang bernilai
salah.
Dari tinjauan di atas dapat
kita katakan bahwa kalimat terbuka dapat berubah menjadi sebuah pernyataan yang
bernilai benar atau salah jika variabel atau peubah dari kalimat terbuka
tersebut diganti dengan nilai tertentu.
Latihan 2.1
1.
Manakah di antara kalimat berikut yang merupakan pernyataan?
a.
x + 3 = 2.
b.
x + 3 = 2 adalah suatu pernyataan.
c.
111 adalah bilangan prima.
d.
Tadi pagi Fahmi bertanya: "Pak Guru kapan ulangan?"
e. 2n + 1 untuk n ∈ A adalah bilangan ganjil.
2.Tentukan variabel atau peubah dari kalimat
terbuka berikut agar menjadi sebuah
pernyataan yang bernilai
benar!
a. x adalah bilangan asli
kurang dari 5.
b. x + 2 = -20.
c. Sebuah himpunan A = { x|
-2 < x < 4, x € A}.
d. x2 – 2x – 8 = 0
.
e. Bilangan cacah kurang dari 21 yang habis dibagi 2.
DISJUNGSI, KONJUNGSI, IMPLIKASI,
BIIMPLIKASI DAN
NEGASINYA
Adakalanya,
kita dituntut untuk menegasikan atau membuat pernyataan baru yang
menunjukkan
pengingkaran atas pernyataan yang ada, dengan menggunakan perakit
“bukan” atau “tidak”.
Di samping itu, mereka harus menggabungkan dua pernyataan atau
lebih dengan
menggunakan perakit “atau”, “dan”, “Jika … maka ….”, maupun “… jika
dan hanya jika ….” yang
dikenal di matematika sebagai konjungsi, disjungsi, implikasi
dan biimplikasi. Bagian
ini akan membahas perakit-perakit tersebut
C. PERAKIT/PERANGKAI
Perakit atau perangkai ini sering juga disebut
dengan operasi. Dari satu atau
dua
pernyataan tunggal dapat diberikan perakit “tidak” , “dan”, “atau”, “jika …
maka
…”,
dan “ … jika dan hanya jika … “ sehingga terbentuk suatu negasi, konjungsi,
disjungsi,
implikasi, dan biimplikasi. Sub bagian ini akan membahas tentang perakit atau
penggandeng
tersebut.
1). Ingkaran atau Negasi
Ingkaran atau negasi biasanya
digunakan untuk menyangkal atau kebalikan dari suatu pernyataan. Untuk
menyangkal atau membuat negasi dari suatu pernyataan biasanya dengan cara
membubuhkan kata “tidak benar” di depan kalimat atau dengan menyisipkan kata “tidak
atau bukan” di dalam pernyataan tersebut. Pernyataan baru yang didapat dengan
cara seperti itu disebut negasi atau ingkaran dari suatu pernyataan semula.
Jika p adalah suatu pernyataan, maka ingkaran atau negasi dari pernyataan
tersebut dituliskan dengan menggunakan lambang berikut ini ~ p dan
dibaca “tidak benar p”atau “bukan p”.
Contoh 7
Tentukan ingkaran atau negasi
dari pernyataan-pernyataan berikut!
a. p : Jakarta ibukota Indonesia
~p : Tidak benar Jakarta
ibukota Indonesia
~p : Jakarta bukan ibukota
Indonesia
b. q : 6 < 3
~q : Tidak benar 6 < 3
~q : 6 _
3
2). Pernyataan Majemuk
Pernyataan majemuk atau
kalimat majemuk adalah suatu pernyataan baru yang tersusun atas dua atau lebih
pernyataan dengan menggunakan kata hubung logika, yaitu dan, atau, tetapi dan
sebagainya. Pernyataan tunggal pembentuk pernyataan majemuk tersebut disebut
dengan komponen-komponen atau sub pernyataan.
Contoh 9
a.
Bandung ibukota provinsi Jawa Barat dan terletak di Pulau Jawa. Komponen
pembentuk kalimat majemuk tersebut adalah Bandung Ibukota Jawa Barat dan
Bandung terletak di Jawa Barat.
b. 2 + 3
= 5 atau 2 – 1 > 5. Komponen pembentuk kalimat majemuknya adalah 2 + 3 = 5
dan 2 – 1>5.
3). Konjungsi
Dua pernyataan p dan q dapat
digabungkan dengan meggunakan kata hubung “dan” untuk membentuk suatu
pernyataan majemuk yang disebut konjungsi dari pernyataan p dan q. Konjungsi
dari pernyataan p dan q dinyatakan dengan: p ٨ q dibaca “ p dan q”.
Contoh 10
a. p : Jakarta adalah Ibukota
Indonesia.
Q : Jakarta terletak di pulau Jawa.
P ٨ q: Jakarta adalah Ibukota Indonesia dan terletak di pulau Jawa.
b. p : 2 adalah bilangan
prima.
q : 2 adalah bilangan ganjil.
p ٨ q: 2 adalah bilangan prima dan bilangan ganjil.
4). Disjungsi
Dua pernyataan p dan q dapat
digabung dengan menggunakan kata hubung “atau” untuk membentuk sebuah
pernyataan baru. Pernyataan majemuk ini disebut dengan disjungsi. Disjungsi
dari pernyataan p dan q ditulis “p
v q” dan
dibaca “p disjungsi q atau “p atau q”. Dalam kehidupan sehari-hari kata “atau”
berarti salah satu atau kedua-duanya, dapat pula salah satu tetapi tidak
kedua-duanya.
Contoh 13
p :
5 merupakan bilangan ganjil
q :
Kalimantan adalah pulau terbesar di Indonesia
p v q :
5 merupakan bilangan ganjil atau Kalimantan adalah pulau terbesar di
Indonesia.
5). Implikasi
Dua pernyataan p dan q dapat
dibuat menjadi satu pernyataan baru atau kalimat majemuk menjadi bentuk “jika p
maka q”. Pernyatan baru yang disusun dengan cara seperti ini disebut pernyataan
implikasi atau peryataan bersyarat/kondisional dari pernyataan p dan q. Bagian
“jika p” dinamakan alasan atau sebab (antesenden /hipotesis) dan bagian “maka
q” dinamakan kesimpulan atau akibat (konklusi atau konsekuen). Implikasi “jika
p maka q” dalam bentuk simbol ditulis:
p _ q (dibaca “jika p maka q”)
Implikasi p _ q dapat pula dibaca sebagai
berikut:
v q hanya jika p
v p syarat cukup bagi q
v q syarat perlu bagi p
6). Biimplikasi atau
ekuivalensi
Dua pernyataan p dan q dapat
dibuat menjadi satu pernyataan baru atau kalimat majemuk menjadi bentuk “p jika
dan hanya jika q”. Pernyataan baru yang disusun dengan cara seperti ini disebut
pernyataan biimplikasi atau ekuivalensi dari pernyatan p dan q. Biimplikasi
dari pernyataan p dan q dalam bentuk simbol ditulis:
p q
(dibaca “p jika dan hanya jika q”)
Biimplikasi p q dapat
pula dibaca sebagai berikut:
v Jika p maka q dan jika q maka p
v p syarat perlu dan cukup bagi q
v q syarat perlu dan cukup bagi p
Latihan 3.1
1.
Tentukan nilai kebenaran dari pernyataan berikut!
a. 3 + 2 = 6 ⇔
4 + 2 = 5.
b. 3 + 2 = 5 ⇒
4 + 2 = 5.
c. 3 + 2 = 5 atau Jakarta ibukota DI Aceh.
d. Jika x2 = 4 maka x = 2.
e. Jika x = −
2 maka x2 = 4.
f. Jika 3x + 4 = 2
dan x ∈ B, maka x = − 1.
Buatlah ingkaran dari kalimat
berikut ini!
a. Semarang adalah ibukota
Jawa Tengah.
b. Panjang diameter sebuah
lingkaran adalah dua kali jari-jarinya.
c. 2 + 3 < 1.
d. 2 + 1 = 5.
e. 4 bukan merupakan bilangan prima.
D.
INGKARAN ATAU NEGASI SUATU PERNYATAAN
1. Negasi Suatu Konjungsi
Konjungsi adalah suatu pernyataan majemuk yang
menggunakan perakit "dan".
Contohnya,
pernyataan Adi berikut :
"Fahmi
makan nasi dan minum kopi."
Pernyataan tersebut ekivalen dengan dua pernyataan
tunggal berikut: "Fahmi makan
nasi."
dan sekaligus "Fahmi minum kopi." Suatu konjungsi p ∧ q akan bernilai benar
hanya
jika komponen-komponennya, yaitu baik p maupun q, keduanya bernilai benar.
Sedangkan
negasi atau ingkaran suatu pernyataan adalah pernyataan lain yang bernilai
benar
jika pernyataan awalnya bernilai salah dan bernilai salah jika pernyataan
awalnya
bernilai
benar. Karena itu, negasi dari: "Fahmi makan nasi dan minum kopi."
adalah
suatu
pernyataan majemuk lain yang salah satu komponennya merupakan negasi dari
komponen
pernyataan awalnya. Dengan demikian, negasinya adalah “"Fahmi tidak
makan
nasi atau tidak minum kopi.";
2. Negasi Suatu Disjungsi
Disjungsi adalah pernyataan majemuk yang menggunakan
perakit "atau".
Contohnya,
pernyataan Adi berikut: "Fahmi makan nasi atau minum kopi." Suatu disjungsi p
∨ q akan bernilai salah
hanya jika komponen-komponennya, yaitu baik p
maupun
q, keduanya bernilai salah, yang selain itu akan bernilai benar. Karenanya,
negasinya
adalah "Fahmi tidak makan nasi dan tidak minum kopi,"
3. Negasi Suatu Implikasi
Perhatikan pernyataan berikut yang merupakan suatu
implikasi:
“Jika
hari hujan maka Adi membawa payung.”
Negasi
dari implikasi di atas adalah: “Hari hujan akan tetapi Andi tidak membawa
payung.”
sehingga ~(p ⇒ q)
≡ p∧~q
4. Negasi Suatu Biimplikasi
Biimplikasi atau bikondisional adalah pernyataan
majemuk dari dua pernyataan p
dan
q yang dinotasikan dengan p ⇔ q
yang ekuivalen (p ⇒ q)
∧ (q ⇒ p); sehingga:
~
(p ⇔ q) ≡ ~[(p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p)]
≡ ~[(~p ∨ q) ∧ (~q ∨ p)]
≡ ~(~p ∨ q) ∨ ~(~q ∨ p)]
≡ (p ∧ ~q) ∨ (q ∧ ~p)
1. .
Konvers , Invers dan Kontraposisi
Dari suatu pernyataan
implikasi p _ q dapat
dibuat pernyataan baru yaitu:
a. q _ p , disebut konvers dari
implikasi
b. ~ p _ ~ q , disebut invers dari
implikasi
c. ~ q _ ~ p , disebut kontraposisi dari
implikasi
Contoh
Misalkan p : Segitiga ABC
sama sisi dan q: Ketiga sudutnya sama besar. Implikasi dari
pernyataan p dan q adalah
p _ q “Jika segitiga ABC sama
sisi maka ketiga sudutnya sama besar”.
a. Konversnya q _ p :
“Jika ketiga sudutnya sama besar
maka segitiga ABC sama sisi”.
b. Inversnya ~ p _ ~ q :
“Jika segitiga ABC bukan sama
sisi maka ketiga sudutnya tidak sama besar”.
c. Kontraposisi ~ q _ ~ p :
“Jika
ketiga sudutnya tidak sama besar maka segitiga ABC bukan sama sisi”.
2. Modus
Ponen
Modus ponen adalah argumen
yang berbentuk sebagai berikut:
“Jika p _ q benar dan p benar maka q
benar”.
Dalam bentuk diagram dapat
disajikan sebagai berikut:
Premis 1 : p q
Premis 2 : P
Konklusi : q
Contoh:
a. Jika seorang anak rajin
belajar, maka ia lulus ujian (B).
Ahmad adalah anak yang rajin
belajar (B).
Ahmad lulus ujian (B).
b. Jika n bilangan ganjil
maka, n2 bilangan ganjil (B).
3 bilangan ganjil (B).
32 bilangan ganjil (B).
Untuk menguji sah atau tidak
penarikan kesimpulan secara modus ponen dapat digunakan tabel kebenaran.
Argumen modus ponen “Jika p _ q benar
dan p benar maka q benar” dapat dituliskan dalam bentuk implikasi, yaitu
[(p q) ٨ p] q.
3. .
Modus Tollens
Modus tollens adalah argumen
yang berbentuk sebagai berikut:
“Jika p q benar dan ~ q benar maka ~
p benar”.
Dalam bentuk diagram dapat
disajikan sebagai berikut:
Premis 1 : p q
Premis 2 : ~ q
Konklusi : ~ p
Contoh:
a. Jika hari minggu, maka
Budi bertamasya (B)
Budi tidak bertamasya (B)
Bukan hari minggu (B)
b. Jika ABCD belahketupat,
maka AC tegak lurus BD(B)
AC tidak tegak lurus BD (B)
ABCD bukan belahketupat (B)
4. .
Silogisme
Silogisme adalah argumen yang
berbentuk sebagai berikut:
“Jika p q benar dan q r benar maka p r benar”.
Dalam bentuk diagram dapat
disajikan sebgai berikut:
Premis 1 : p q
Premis 2 : q r
Konklusi : p r
3 komentar:
Jika ada soal
1. X adalah bilangan asli kurang dari 5.
Jawabannya adalah ?
Mohon dijawab
Good job!
Casino site by LuckyClub - live casino site by Luckyclub
Online Casino with No download required. Online Casino with Cash, FREE luckyclub No Deposit Needed and a Fast, Secure, and Secure Website.
Posting Komentar